Как вычислить число Пи быстрее, чем за четверть века упорного труда? На протяжении двух тысяч лет математики всего мира занимались изнурительным увеличением сторон многоугольников, чтобы продвинуться лишь на несколько знаков после запятой. Всё изменилось в 1666 году, когда молодой Исаак Ньютон, находясь на карантине, применил радикально новый подход к биномиальной теореме и матанализу, навсегда перевернув историю математики. Автор популярного канала Veritasium Дерек Мюллер подробно рассказывает об этом удивительном научном прорыве.
🍕 Геометрия круга: от корки пиццы до площади 0:00
Дерек Мюллер начинает объяснение сути числа Пи с наглядного и простого примера. Если отрезать корочку у пиццы и выложить её поперек таких же пицц одинакового размера, то её длина составит чуть больше трех диаметров. Это фундаментальное геометрическое соотношение длины окружности к её диаметру и представляет собой константу $\pi \approx 3,14$.
С площадью круга ($S = \pi r^2$) ситуация аналогичная, и её легко понять, если разрезать пиццу на бесконечно тонкие кусочки, а затем сложить их попеременно в прямоугольник. Длина получившегося прямоугольника будет равна половине длины окружности круга ($\pi r$), так как половина корочек окажется с одной стороны, а половина — с другой. Ширина этого прямоугольника будет равна радиусу исходной пиццы ($r$), что в результате несложного перемножения длины на ширину дает классическую формулу площади круга. Соответственно, площадь единичного круга, у которого радиус равен единице, будет в точности равна числу Пи, что имеет решающее значение для дальнейших математических открытий.
📐 Геометрический тупик: две тысячи лет изнурительных вычислений 1:33
Самым очевидным способом вычисления Пи долгое время оставался метод приближения с помощью правильных геометрических фигур. Если взять окружность и вписать в неё правильный шестиугольник со стороной, равной единице, то его периметр будет равен 6, а диаметр самой окружности — 2, откуда легко сделать вывод, что число Пи гарантированно больше 3. Если же описать вокруг этой окружности квадрат, его периметр составит 8, что указывает на верхнюю границу: Пи строго меньше 4. Это базовое ограничение человечество знало на протяжении тысячелетий.
В 250 году до н. э. великий древнегреческий ученый Архимед значительно усовершенствовал этот геометрический подход. Он начал с обычного шестиугольника, а затем последовательно делил его стороны пополам, переходя к 12-угольнику (додекагону), 24-угольнику, 48-угольнику и, наконец, к 96-угольнику, рассчитывая периметры как вписанных, так и описанных фигур. С каждым шагом вычисления становились все более изощренными и тяжелыми, поскольку Архимеду приходилось вручную извлекать громоздкие квадратные корни и переводить их в точные дроби. Дойдя до 96-угольника, ученый остановился, определив, что значение Пи находится в диапазоне между 3,1408 и 3,1429.
Однако последующие две тысячи лет математики превратили этот метод в соревнование амбиций и демонстрацию интеллектуальной мощи, стремясь рассчитывать константу с экстремальной точностью. Метод удвоения сторон многоугольников подхватили китайские, индийские, персидские и арабские ученые, каждый из которых вносил свой вклад в сужение рамок Архимеда. В конце XVI века француз Франсуа Виет повторил процедуру удвоения сторон значительно больше раз, чем Архимед, вычислив периметр многоугольника с 393 216 сторонами.
Но всех превзошел голландский математик Людольф ван Цейлен на рубеже XVII века: он потратил целых 25 лет своей жизни на вычисление периметра многоугольника, имевшего $2^{62}$ сторон — это более 4 квинтиллионов геометрических граней. Результатом этого колоссального и изнурительного труда стали всего 35 точных десятичных знаков числа Пи, которые ученый гордо завещал выбить на своем надгробии. Вскоре Кристоф Гринбергер с помощью аналогичного метода довел этот показатель до 38 знаков, став последним человеком в истории, вычислявшим Пи подобным образом.
😷 Прорыв во время чумы: Ньютон ломает правила алгебры 4:54
Ситуация коренным образом изменилась, когда на научную арену вышел сэр Исаак Ньютон. В 1666 году, будучи всего лишь 23-летним юношей, он был вынужден изолироваться в своем деревенском доме из-за масштабной вспышки бубонной чумы в Англии. В этот продуктивный период уединения Ньютон развлекался поиском закономерностей в простых алгебраических выражениях вида $(1 + x)^2$, $(1 + x)^3$, $(1 + x)^4$ и так далее.
Раскрывая скобки в этих уравнениях, он заметил четкий паттерн: коэффициенты при степенях переменной $x$ в точности соответствовали строкам математического объекта, известного сегодня как треугольник Паскаля. Дерек Мюллер подчеркивает, что этот треугольник задолго до Паскаля независимо открывали древние греки, индийцы, китайцы и персы. В этом, по мнению ведущего, заключается истинная красота математики — она преодолевает любые культурные, языковые и временные барьеры.
К эпохе Ньютона ученые уже вывели общую формулу для поиска коэффициентов в любой строке без необходимости рассчитывать все предыдущие ряды. Этот математический закон получил название «биномиальная теорема»:
$$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dots$$
Однако академическое сообщество того времени строго настаивало на том, что этот закон применим исключительно тогда, когда показатель степени $n$ является целым положительным числом, что логично, ведь речь шла о перемножении выражения $(1 + x)$ на самого себя конечное число раз. Гениальность Ньютона заключалась в его готовности нарушить общепринятые правила ради поиска скрытых математических паттернов.
♾️ Выход за рамки: отрицательные степени и бесконечные ряды 8:13
Ньютон решил рискнуть и подставить в стандартную формулу бинома отрицательное число, выбрав значение $n = -1$, что эквивалентно алгебраической дроби $1 / (1 + x)$. В результате слепого применения формулы знаки коэффициентов начали циклически чередоваться, превратив конечное выражение в бесконечный математический ряд: $1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 \dots$.
В отличие от целых положительных чисел, где цепочка сомножителей вида $(n - n)$ неизбежно обнуляет все последующие коэффициенты и делает итоговую сумму конечной, отрицательные числа никогда не дают ноль в числителе, из-за чего формула уходит в бесконечность. Чтобы доказать себе, что полученный бесконечный ряд не является полной бессмыслицей, Ньютон применил элегантную проверку: он умножил весь этот гигантский ряд на выражение $(1 + x)$. При раскрытии скобок абсолютно все промежуточные члены взаимно уничтожились, оставив на руках чистую единицу. Это наглядно подтвердило Ньютону, что расширение правил бинома имеет строгий математический смысл.
Благодаря этому открытию треугольник Паскаля удалось виртуально расширить вверх, за пределы привычной нулевой строки. Новые «отрицательные» строки уходили в бесконечность влево и вправо, но при этом идеально сохраняли базовое свойство треугольника: любые два соседних числа в сумме давали число, расположенное строго под ними. Более того, если временно проигнорировать чередующиеся знаки «плюс» и «минус», числа в этой верхней зоне в точности повторяли структуру основного треугольника Паскаля, будучи просто повернутыми набок.
🔮 Бесконечность между строк: дробные степени и уравнение окружности 11:31
Следующим революционным шагом Ньютона стала проверка дробных степеней, в частности $n = 1/2$, что эквивалентно вычислению квадратного корня из выражения $\sqrt{1+x}$. Подстановка дроби в биномиальную теорему снова породила бесконечный ряд коэффициентов. Как отмечает Дерек Мюллер, это открытие буквально «взорвало» дискретный треугольник Паскаля, создав непрерывный континуум числовых плоскостей между привычными строками для абсолютно любых дробных значений степеней. Используя этот метод, Ньютон научился невероятно быстро вычислять, например, значение $\sqrt{3}$, разложив его как $2\sqrt{1 - 1/4}$ в стремительно сходящийся ряд.
Особый интерес Ньютона к дробной степени $1/2$ объяснялся его желанием решить давнюю проблему геометрии окружности. Классическое уравнение единичной окружности на координатной плоскости выглядит как $x^2 + y^2 = 1$, откуда верхняя полуокружность выражается формулой $y = (1 - x^2)^{1/2}$. Заменив в своей расширенной формуле бинома переменную $x$ на $-x^2$, Ньютон получил точное алгебраическое выражение для дуги окружности, где каждый член представлял собой просто рациональное число, умноженное на переменную $x$ в определенной степени.
🏎️ Рождение матанализа: как Ньютон «сократил» вычисление Пи до нескольких дней 13:28
К тому моменту Исаак Ньютон уже разработал основы дифференциального и интегрального исчисления, которые он называл «теорией флюксий». Он понимал, что интегрирование уравнения полуокружности в границах от 0 до 1 позволит найти точную площадь под этой кривой, которая геометрически представляет собой четверть круга. Поскольку радиус круга равен единице, его общая площадь равна Пи, а площадь четверти круга — $\pi / 4$.
Почленное интегрирование полученного бесконечного ряда оказалось тривиальной задачей: степень каждого икса увеличивалась на единицу и делилась на новый показатель. Подставив вместо $x$ единицу, теоретически можно было вычислить Пи с любой точностью, совершая лишь простые арифметические действия с дробями.
Однако интегрирование от 0 до 1 обладало существенным недостатком — ряд сходился к результату слишком медленно. Тогда Ньютон применил еще одну гениальную хитрость: вместо интегрирования до единицы он решил рассчитать интеграл функции в границах от 0 до $1/2$. Это позволило уменьшать каждое последующее слагаемое за счет дополнительного мощного множителя $(1/2)^2 = 1/4$, благодаря чему числовой ряд стал сходиться к финальному значению в разы быстрее.
Геометрически площадь под кривой в границах от 0 до $1/2$ состоит из двух понятных и легко вычисляемых фигур: 30-градусного сектора круга (площадь которого равна ровно $\pi / 12$) и прямоугольного треугольника с основанием $1/2$ и высотой $\sqrt{3}/2$. Таким образом, приравняв этот простой определенный интеграл к геометрической сумме площадей секторов и выразив оттуда переменную Пи, Ньютон получил свою революционную формулу.
Результаты применения этой новой технологии поражали:
- Расчет всего первых пяти членов бесконечного ряда дал значение Пи, равное 3,14161, что отличалось от истины лишь на две стотысячные доли.
- Для достижения точности в 35 знаков после запятой (на что Людольф ван Цейлен потратил четверть века своей жизни и квадриллионы сторон многоугольника) Ньютону потребовалось бы рассчитать вручную всего 50 членов своего ряда.
- Работа, занимавшая ранее жизни целых поколений математиков, теперь могла быть выполнена в одиночку за считанные дни.
Появление этой математической технологии навсегда обесценило метод деления многоугольников. Дерек Мюллер справедливо сравнивает этот прорыв со строительством современного подъемного крана, который мгновенно делает бессмысленным использование деревянной лестницы для постройки высотных зданий.
В конечном счете, по мнению автора видео, это вдохновляющая история о том, что самый очевидный и традиционный способ действий далеко не всегда является наилучшим. Иногда игра с паттернами и смелый выход за рамки привычных правил способны раздвинуть границы человеческого знания гораздо дальше, чем столетия упорного, но рутинного труда.
